Question

如圖所示的自動通風設施，其下部ABCD是等腰梯形，其中高為0.5米，AB=1米，CD=2a(a＞)米，上部CmD是個半圓，固定點E為CD的中點，△EMN是由電腦控制其形狀變化的三角通風窗（陰影部分均不通風），MN是可以沿設施邊框上下滑動且始終保持和CD平行的伸縮橫桿，
(Ⅰ)設MN與AB之間的距離為x米，試將三角通風窗EMN的通風研積S（平方米）表示成x的函數S=f(x)；
(Ⅱ)當MN與AB之間的距離為多少米時，三角通風窗EMN的通風面積最大？并求出這個最大面積。

Answer 1

解：(Ⅰ)①時，由平面幾何知識，得，
∴MN=2(2a-1)x+1，
S=f(x)=-(2a-1)x²+(a-1)x+。
②＜x＜a+時，
，
∴。
(Ⅱ)①時，，
∵，
∴，∴，
若，當x=0時，，
若a＞1，當時，；
②時，


等號成立
，
∴當時，。
A.時，
∵，
∴時，當，
時，當；
B.a＞1時，，
當時，；
綜上，時，當，即MN與AB之間的距離為0米時，三角通風窗EMN的通風面積最大，最大面積為平方米；
時，當時，，即MN與AB之間的距離為米時，三角通風窗EMN的通風面積最大，最大面積為平方米。