Question

【題目】四棱錐中，面，底面為菱形，且有，，，為中點(diǎn)．

（1）證明：面；

（2）求二面角的平面角的余弦值．

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2) 二面角E﹣AB﹣C的平面角的余弦值為

【解析】

（1）因為菱形的對角線互相垂直，所以，再由的中位線，得到，結(jié)合面，所以面，從而．最后根據(jù)直線與平面垂直的判定定理，得到面；

（2）以為原點(diǎn)，、所在直線分別為軸、軸，建立如圖所示坐標(biāo)系，則可得到、、、各點(diǎn)的坐標(biāo)，從而得到向量、、的坐標(biāo)，然后利用垂直向量數(shù)量積為零的方法，分別求出平面和平面的一個法向量，結(jié)合空間向量的夾角公式計算出它們的夾角的余弦值．最后根據(jù)題意，二面角是銳二面角，得到二面角平面角的余弦值為余兩個法向量夾角余弦的絕對值．

解：（1）設(shè)為底面的中心，連接，

底面為菱形，

中，、分別是、的中點(diǎn)

又面，

面

面，

又、是平面內(nèi)的兩條相交直線

面

（2）以為原點(diǎn)，、所在直線分別為軸、軸，建立如圖所示坐標(biāo)系，則可得

設(shè)是平面一個法向量

由，解得，

所以取，，，可得，

因為平面，所以向量即為平面的一個法向量，設(shè)

根據(jù)題意可知：二面角是銳二面角，其余弦值等于

二面角的平面角的余弦值為．