Question

　　已知函數滿足：①；②.

�。�1）求的值；

�。�2）設，是否存在實數使為偶函數；若存在，求出的值；若不存在，說明理由；

（平行班做）(3)設，若函數在區間上單調遞增，求實數的取值范圍；

（特保班做）（3）設函數，討論此函數在定義域范圍內的零點個數．

Answer 1

解：（1），  ①

          又，即，②

          將①式代入②式，得，又∵，

          ∴，．     ……………………………………………4分              

　          （2）由（1）得，

                ，

                 假設存在實數使為偶函數，則有

                ，即，可得．

　　　　　   故存在實數使為偶函數．……………………………………8分 

    平行班（3）依題意有，

            在區間上單調遞增，

           若函數在區間上單調遞增，則

          且在區間上恒成立，

        ，即  解得；

　　　    故實數的取值范圍是．……………………………………12分 

          

   特保班（3）方法1 ∵ 函數，

      　　　 有解，即

　　　　　 　又∵ ，

　　　　　　　∴ 的最小值為，

　　　　　　　∴ ；

　　　　      又，

              即，      （*）

            

　　　　　　 ∴當時，方程（*）有2個不同的實數根；

               當時，方程（*）有1個實數根；

               當時，方程（*）沒有實數根．

               綜上，當時，函數在定義域范圍內有2個零點；

                     當時，函數在定義域范圍內有1個零點；

                     當時，函數在定義域范圍內沒有零點．…………12分                                   

         方法2∵ 函數，

      　　　  有解，

　　　　　　  又∵ ，

　　　　　　　∴ 的最小值為，

　　　　　　　∴ ；

　　　　       又，

              即  

             ∴當時，直線與拋物線有2個不同的交點；

               當時，直線與拋物線有1個交點；

               當時，直線與拋物線沒有交點．

           綜上，當時，函數在定義域范圍內有2個零點；

                 當時，函數在定義域范圍內有1個零點；

                 當時，函數在定義域范圍內沒有零點．…