Question

已知(

3	x

-

1

2 3 x

)2n展開式中偶數項二項式系數的和比（a+b）ⁿ展開式的各項系數和大112．
（1）求n；
（2）在（1）的條件下，求（a-b）²ⁿ展開式中系數最大的項；
（3）求(

3	x

-

1

2 3 x

)2n展開式中的所有的有理項．

Answer 1

（1）由題意可得

22n

2

-2ⁿ=112，故有（2ⁿ-16）（2ⁿ+14）=0，∴2ⁿ=16，解得n=4．
（2）（a-b）²ⁿ =（a-b）⁸ 開式中系數最大的項為 T₅=

C

48

•a⁴•（-b）⁴=70a⁴•b⁴．
（3）(

3	x

-

1

2 3 x

)2n=(

3	x

-

1

2 3 x

)8展開式的通項公式為 T_r+1=

C

r8

•x

8-r

3

•(-

1

2

)r•x-

r

3

 
=(-

1

2

)r•

C

r8

•x

8-2r

3

．
再根據

8-2r

3

為整數且0≤r≤8，可得 r=1，4，7，
故有理項為

C

18

•(-

1

2

)1•x2=-4x²；

C

48

•(-

1

2

)4•x0=

35

8

；

C

78

•(-

1

2

)7•x-2=-

1

16

x^-2．