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已知向量
p
、
q
滿足條件：|
p
|=2
2
，|
q
|=3，
p
、
q
的夾角為
π
4
，如圖，若
AB
=5
p
+2
q
，
AC
=
p
-3
q
，且D為BC的中點，則
AD
的長度為（　　）
分析：根據向量的加法法則得2
AD
=
AB
+
AC
，結合題意得出
AD
=3
p
-
1
2
q
．由數量積的公式算出
p
•
q
=6，結合數量積的運算性質算出
AD
2=（3
p
-
1
2
q
）2=
225
4
，從而可得
AD
的長度．
解答：解：∵
AB
=5
p
+2
q
，
AC
=
p
-3
q
，
∴根據向量加法的平行四邊形法則，可得2
AD
=
AB
+
AC
=6
p
-
q
，
∴
AD
=3
p
-
1
2
q

∵|
p
|=2
2
，|
q
|=3，
p
、
q
的夾角為
π
4
，
∴
p
2=|
p
|2=8，
q
2=|
q
|2=9，
p
•
q
=
|p|
•
|q|
cos
π
4
=6
由此可得
AD
2=（3
p
-
1
2
q
）2=9
p
2-3
p
•
q
+
1
4
q
2=9×8-3×6+
9
4
=
225
4

∴
|AD|
=
AD
2
=
15
2
（舍負），即
AD
的長度為
15
2
．
故選：A
點評：本題著重考查了向量的加法法則、向量的數量積運算公式及其性質、向量模的公式等知識，屬于中檔題．
練習冊系列答案
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精英家教網與向量、圓交匯．例5：已知F1、F2分別為橢圓C1：
y2
a2
+
x2
b2
=1(a＞b＞0)的上、下焦點，其中F1也是拋物線C2：x2=4y的焦點，點M是C1與C2在第二象限的交點，且|MF1|=
5
3
．
（1）求橢圓C1的方程；
（2）已知點P（1，3）和圓O：x2+y2=b2，過點P的動直線l與圓O相交于不同的兩點A，B，在線段AB上取一點Q，滿足：
AP
=-λ
PB
，
AQ
=λ
QB
，（λ≠0且λ≠±1）．問點Q是否總在某一定直線上？若在，求出這條直線，否則，說明理由．

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（1）求橢圓C1的方程；
（2）已知點P（1，3）和圓O：x2+y2=b2，過點P的動直線l與圓O相交于不同的兩點A，B，在線段AB上取一點Q，滿足：，，（λ≠0且λ≠±1）．問點Q是否總在某一定直線上？若在，求出這條直線，否則，說明理由．

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（1）求橢圓C1的方程；
（2）已知點P（1，3）和圓O：x2+y2=b2，過點P的動直線l與圓O相交于不同的兩點A，B，在線段AB上取一點Q，滿足：，，（λ≠0且λ≠±1）．問點Q是否總在某一定直線上？若在，求出這條直線，否則，說明理由．

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（1）求橢圓C1的方程；
（2）已知點P（1，3）和圓O：x2+y2=b2，過點P的動直線l與圓O相交于不同的兩點A，B，在線段AB上取一點Q，滿足：，，（λ≠0且λ≠±1）．問點Q是否總在某一定直線上？若在，求出這條直線，否則，說明理由．

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（2）已知點P（1，3）和圓O：x2+y2=b2，過點P的動直線l與圓O相交于不同的兩點A，B，在線段AB上取一點Q，滿足：，，（λ≠0且λ≠±1）．問點Q是否總在某一定直線上？若在，求出這條直線，否則，說明理由．

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