Question

已知函數f（x）=|x+

1

x

-1|，則關于x的方程f²（x）-6f（x）+c=0（c∈R）有6個不同實數解的充要條件是

5＜c＜9

．

Answer 1

分析：作出函數f（x）的圖象，利用函數圖象的關系，設t=f（x），將方程轉化為關于t的一元二次方程根的個數問題．

解答：解：設t=f（x），則方程f²（x）-6f（x）+c=0（c∈R）等價為t²-6t+c=0（c∈R），
當x＞0時x+

1

x

-1≥2-1=1，
當x＜0時x+

1

x

-1≤-2-1=-3，
即x＞0時f（x）=|x+

1

x

-1|≥2-1=1，
當x＜0時f（x）=|x+

1

x

-1|≥3，
作出f（x）=|x+

1

x

-1|的圖象如圖：
則當t＜1時，方程f（x）=t有0解，
當t=1時，方程f（x）=t有1解，
當t=3時，方程f（x）=t有3解，
當1＜t＜3時，方程f（x）=t有2解，
當t＞3時，方程f（x）=t有4解．
若關于x的方程f²（x）-6f（x）+c=0（c∈R）有6個不同實數解，
則t²-6t+c=0的兩個解t滿足1＜t＜3或t＞3，
即c=-t²+6t，1＜t＜3或t＞3，
∵c=-t²+6t=-（t-3）²+9，
1＜t＜3或t＞3，
∴5＜c＜9
故答案為：（5，9）

點評：本題主要考查函數根的個數的判斷和應用，利用換元法將方程轉化為一元二次方程根的取值情況是解決本題的關鍵，利用數形結合是解決本題的突破點，綜合性較強，難度較大．