Question

設函數f（x）=sin（2x+φ）（-π＜φ＜0），y=f（x）圖象的一條對稱軸是直線x=

π

8

（Ⅰ）求φ；
（Ⅱ）求函數y=f（x）的單調區間及最值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題意y=f（x）圖象的一條對稱軸是直線x=

π

8

，所以函數取得最值，結合-π＜φ＜0，求出φ；
（Ⅱ）結合正弦函數的單調增區間，單調減區間的范圍，求出函數y=f（x）的單調區間，利用正弦函數的最值確定函數的最值．

解答：解：（Ⅰ）y=f（x）圖象的一條對稱軸是直線x=

π

8

，則有sin(

π

4

+?)=±1
即

π

4

+?=kπ+

π

2

，所以?=kπ+

π

4

，又-π＜?＜0，則?=-

3π

4

（4分）
（Ⅱ）令2kπ-

π

2

＜2x-

3π

4

＜2kπ+

π

2

，則kπ+

π

8

＜x＜kπ+

5π

8

即單調增區間為[kπ+

π

8

，kπ+

5π

8

](k∈Z)（6分）
再令2kπ+

π

2

＜2x-

3π

4

＜2kπ+

3π

2

，則kπ+

5π

8

＜x＜kπ+

9π

8

即單調減區間為[kπ+

5π

8

，kπ+

9π

8

](k∈Z)（8分）
當2x-

3π

4

=2kπ+

π

2

，即x=kπ+

5π

8

時，函數取得最大值1；（10分）
當2x-

3π

4

=2kπ-

π

2

，即x=kπ+

π

8

時，函數取得最小值-1（12分）

點評：本題是基礎題，考查三角函數的單調性，最值，對稱性，考查計算推理能力，注意基本函數的基本知識和性質的應用，初相的范圍的確定，解題的易錯點．