Question

已知函數f（x）=x³-3ax，（a＞0）．
（1）當a=1時，求f（x）的單調區間；
（2）求函數y=f（x）在x∈[0，1]上的最小值．

Answer 1

分析：（1）將a=1代入，求出函數的導數，利用導數求出其單調區間即可．
（2）求出函數的導數，利用導數研究函數在區間[0，1]上的單調性，求出最小值即可．本題中導數帶著參數，故求解時要對其范圍進行討論．

解答：解：（1）當a=1時，f（x）=x³-3x，所以f'（x）=3x²-3=3（x+1）（x-1）．
令f'（x）=0得x=±1，列表：

x	（-∞，-1）	-1	（-1，1）	1	（1，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗	極大值	↘	極小值	↗

∴f（x）的單調遞增區間是（-∞，-1），（1，+∞）；單調遞減區間是（-1，1）（6分）
（2）由f(x)=x3-3ax，(a＞0)，得f′(x)=3x3-3a=3(x+

a

)(x-

a

)∵x∈[0，1]
①當0＜a＜1時，

x	0	(0， a )	a	( a ，1)	1
f'（x）		-	0	+
f（x）	0	↗	-2a a	↗	1-3a

當x=

a

時，f(x)取得最小值，最小值為-2a

a

．（9分）
②當a≥1時，f'（x）≤0，f（x）在x∈[0，1]上是減函數，當x=1時，f（x）取得最小值，最小值為1-3a．
綜上可得：f(x)min=

-2a a ，(0＜a＜1) 1-3a．(a≥1)

（12分）

點評：本題考查利用導數研究函數在閉區間上的最值，求解的關鍵是正確求出函數的導數，以及根據參數的取值范圍及導數得出函數的單調區間，確定最值的存在位置．列表表示函數的性質比較直觀，解題時要善于運用．