Question

已知直線l過坐標原點，拋物線C頂點在原點，焦點在x軸正半軸上．若點A（-1，0）和點B（0，8）關于l的對稱點都在C上，求直線l和拋物線C的方程．

Answer 1

分析：先設出拋物線的標準方程和直線l的方程，根據A'、B'分別是A、B關于l的對稱點，進而可知A'A⊥l，進而可得直線A'A的方程，把兩直線方程聯立求得交點M的坐標，進而根據M為AA'的中點，求得A'點的坐標和B'的坐標，分別代入拋物線方程求得p的表達式，最后聯立求得k，進而求得p，則直線和拋物線的方程可得．

解答：解：依題設拋物線C的方程可寫為
y²=2px（p＞0），
且x軸和y軸不是所求直線，又l過原點，因而可設l的方程為
y=kx（k≠0）．①
設A'、B'分別是A、B關于l的對稱點，因而A'A⊥l，直線A'A的方程為y=-

1

k

(x+1)②
由①、②聯立解得AA'與l的交點M的坐標為(-

1

k2+1

，-

k

k2+1

)．
又M為AA'的中點，從而點A'的坐標為
x_A'=2(-

1

k2+1

)+1=

k2-1

k2+1

，
y_A'=2(

-k

k2+1

)+0=-

2k

k2+1

．③
同理得點B'的坐標為
x_B'=

16k

k2+1

，y_B'=

8(k2-1)

k2+1

．④
又A'、B'均在拋物線y²=2px（p＞0）上，由③得(-

2k

k2+1

)2=2p•

k2-1

k2+1

，由此知k≠±1，
即p=

2k2

k4-1

⑤
同理由④得(

8(k2-1)

k2+1

)2=2p•

16k

k2+1

．
即p=

2(k2-1)2

(k2+1)k

．
從而

2k2

k4-1

=

2(k2-1)2

(k2+1)k

，
整理得k²-k-1=0．
解得k1=

1+ 5

2

，k2=

1- 5

2

.
但當k=

1- 5

2

時，由③知xA′=-

5

5

＜0，
這與A'在拋物線y²=2px（p＞0）上矛盾，故舍去k2=

1- 5

2

．
設k=

1+ 5

2

，則直線l的方程為y=

1+ 5

2

x．
將k=

1+ 5

2

代入⑤，求得p=

2 5

5

．
所以直線方程為y=

1+ 5

2

x．
拋物線方程為y2=

4 5

5

x．

點評：本小題考查直線與拋物線的基本概念和性質，解析幾何的基本思想方法以及綜合運用知識解決問題的能力．