Question

已知A（4，0），N（1，0），若點P滿足

AN

•

AP

=6|

PN

|．
（1）求點P的軌跡方程，并說明該軌跡是什么曲線；
（2）求|

PN

|的取值范圍；
（3）若M（-1，0），求∠MPN在[0，π]上的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）設出點P（x，y），將

AN

•

AP

=6|

PN

|用坐標表示出來整理即得點P的軌跡方程；
（2）利用橢圓的第二定義建立關于|

PN

|的等式，將|

PN

|用坐標表示出來，即將|

PN

|表示成P的坐標的函數，利用函數的性質求即可．
（3）用余弦定理將∠MPN的余弦值表示成關于|

PN

|的函數，用函數的性質求求出角的取值范圍．

解答：解：（1）設P（x，y），

AP

=（x-4，y），

PN

=（1-x，-y），

AN

=（-3，0），
∵

AN

•

AP

=6||，
∴-3（x-4）=6

(1-x)2+(-y)2

，即3x²+4y²=12．
∴

x2

4

+

y2

3

=1．∴P點的軌跡是以（-1，0）、（1，0）為焦點，長軸長為4的橢圓．
（2）N（1，0）為橢圓的右焦點，x=4為右準線，
設P（x₀，y₀），P到右準線的距離為d，d=4-x₀，

|PN|

d

=e=

1

2

，|PN|=

1

2

d=

4-x0

2

．
∵-2≤x₀≤2，∴1≤|PN|≤3．
當|PN|=1時，P（2，0）；當|PN|=3時，P（-2，0）．
（3）令|PN|=t（1≤t≤3），
則|PM|=4-t，|MN|=2，
cos∠MPN=

|PN|2+|PM|2-|MN|2

2|PN||PM|

=

t2+(4-t)2-4

2t(4-t)

=-1+

6

t(4-t)

．
由1≤t≤3，得3≤t（4-t）≤4，
∴

1

2

≤cos∠MPN≤1，
∴0≤∠MPN≤

π

3

．

點評：本題是遞進式的一個題，此特點是后一問要用上前一問的結論，環環相扣，相當緊湊，本題運算量比較大，符號運算較多．