Question

已知曲線E的參數方程為

x=4cosθ y=3sinθ.

（θ為參數，θ∈R），直線l的參數方程為

x=4t+2 y=-3t+3.

（t為參數，t∈R）．
（1）求曲線E和直線l的普通方程．
（2）若點P，Q分別為曲線E，直線l上的動點，求線段PQ長的最小值．

Answer 1

分析：（1）利用同角三角函數的基本關系消去參數θ，把曲線E的參數方程化為普通方程，用代入法消去參數t，
把直線l的參數方程化為普通方程．
（2）設點P（4cosθ，3sinθ），利用點到直線的距離公式可得線段PQ≥

|12cosθ+12sinθ-18|

16+9

=

|12 2 sin(θ+ π 4 )-18|

5

，由正弦函數的值域求得其最小值．

解答：解：（1）曲線E的普通方程為 

x2

16

+

y2

9

=1，直線l的普通方程為 3x+4y-18=0．
（2）設點P（4cosθ，3sinθ），線段PQ≥

|12cosθ+12sinθ-18|

16+9

=

|12 2 sin(θ+ π 4 )-18|

5

≥

18-12 2

5

，故當PQ與直線l垂直，且 θ=2kπ+

π

4

，k∈z 時，線段PQ取最小值為

18-12 2

5

．

點評：本題考查把極坐標方程化為直角坐標方程的方法，點到直線的距離公式的應用，注意線段PQ 取最小值時的條件．