Question

如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，CB=1，CA=

3

，AA1=

6

，M為側棱CC₁上一點，AM⊥BA₁．
（Ⅰ）求證：AM⊥平面A₁BC；
（Ⅱ）求二面角B-AM-C的大小．

Answer 1

分析：（Ⅰ）欲證AM⊥平面A₁BC，根據直線與平面垂直的判定定理可知只需證AM與平面A₁BC內兩相交直線垂直，而BC⊥AM，AM⊥BA₁，BC∩BA₁=B，滿足定理條件；
（Ⅱ）設AM與A₁C的交點為O，連接BO，根據二面角平面角的定義可知∠BOC為二面角B-AM-C的平面角，在Rt△BCO中求解此角即可．

解答：證明：（Ⅰ）在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，
易知面ACC₁A₁⊥面ABC，∵∠ACB=90°，
∴BC⊥面ACC₁A₁．
∵AM⊆面ACC₁A₁，∴BC⊥AM．∵AM⊥BA₁，
且BC∩BA₁=B，∴AM⊥平面A₁BC．
解：（Ⅱ）設AM與A₁C的交點為O，連接BO，
由（Ⅰ）可知AM⊥OB，且AM⊥OC，
所以∠BOC為二面角B-AM-C的平面角．
在Rt△ACM和Rt△A₁AC中，∠OAC+∠ACO=90°，
∴∠AA₁C=∠MAC．∴Rt△ACM∽Rt△A₁AC．∴AC²=MC•AA₁．
∴MC=

6

2

．
∴在Rt△ACM中，AM=

3 2

2

．∵

1

2

AC•MC=

1

2

AM•CO，
∴CO=1．
∴在Rt△BCO中，tanBOC=

BC

CO

=1．
∴∠BOC=45°，故所求二面角的大小為45°．

點評：本題主要考查了直線與平面垂直的判定，以及二面角及其度量，考查空間想象能力、運算能力和推理論證能力，屬于中檔題．