Question

（本小題滿分13分）設(shè)圓C滿足：（1）截軸所得弦長(zhǎng)為2；（2）被軸分成兩段圓弧，其弧長(zhǎng)的比為5∶1．在滿足條件（1）．（2）的所有圓中，求圓心到直線：3－4=0的距離最小的圓的方程．

Answer 1

（x－）2＋（y－）2＝4或（x＋）2＋（y＋2＝4

解：設(shè)所求圓的圓心為P（，），半徑為，則P到軸．軸的距離分別為||．||．
由題設(shè)圓P截x軸所得劣弧所對(duì)圓心角為60°……2分，圓P截軸所得弦長(zhǎng)為，故  32＝42，
又圓P截軸所得弦長(zhǎng)為2，所以有r2＝2＋1，…………5分
從而有42－32＝3
又點(diǎn)P（，）到直線3－4=0距離為＝，…………7分
所以252＝|3－4|2＝92＋162－24≥92＋162－12（2＋2）…10分
＝4b2－32＝3
當(dāng)且僅當(dāng)=時(shí)上式等號(hào)成立，此時(shí)252＝3，從而取得最小值，
由此有 ，解方程得或 ………12分
由于32＝42，知＝2，于是所求圓的方程為
（x－）2＋（y－）2＝4或（x＋）2＋（y＋2＝4………．13分