Question

已知函數f（x）滿足f（log_ax）=

a

a2-1

（x-x^-1），其中a＞0，a≠1
（1）對于函數f（x），當x∈（-1，1）時，f（1-m）+f（1-m²）＜0，求實數m的集合；
（2）當x∈（-∞，2）時，f（x-4）的值恒為負數，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）首先根據題意，用換元法求出f（x）的解析式，進而分析函數的單調性和奇偶性，將已知不等式轉化為f（1-m）＜f（m²-1），進而轉化為

-1＜1-m＜1 -1＜1-m2＜1 1-m＜m2-1

，解可得答案；
（2）由（1）中的單調性可將f（x-4）的值恒為負數轉化為f（2）-4≤0，解不等式即可．

解答：解：（1）根據題意，令log_ax=t，則x=a^t，
所以f(t)=

a

a2-1

(at-a-t)，即f(x)=

a

a2-1

(ax-a-x)
當a＞1時，因為a^x-a^-x為增函數，且

a

a2-1

＞0，所以f（x）在（-1，1）上為增函數；
當0＜a＜1時，因為a^x-a^-x為減函數，且

a

a2-1

＜0，所以f（x）在（-1，1）上為增函數；
綜上所述，f（x）在（-1，1）上為增函數．
又因為f（-x）=

a

a2-1

(a-x-ax)=-f（x），故f（x）為奇函數．
所以f（1-m）+f（1-m²）＜0?f（1-m）＜-f（1-m²）?f（1-m）＜f（m²-1）
由f（x）在（-1，1）上為增函數，可得

-1＜1-m＜1 -1＜1-m2＜1 1-m＜m2-1

解得1＜m＜

2

，即m的值的集合為{m|1＜m＜

2

}
（2）由（1）可知，f（x）為增函數，
則要使x∈（-∞，2），f（x）-4的值恒為負數，
只要f（2）-4＜0即可，即f（2）=

a

a2-1

(a2-a-2)=

a

a2-1

a4-1

a2

=

a2+1

a

＜4，又a＞0
解得2-

3

＜a＜2+

3

又a≠1，可得符合條件的a的取值范圍是（2-

3

，1）∪（1，2+

3

）．

點評：本題考查函數奇偶性與單調性的綜合運用，是綜合題，解題時尤其注意正確求解不等式組的解集．