Question

設向量i=(1,0),j=(0,1),a=xi+(y+2)j,b=xi+(y-2)j且|a|+|b|=8,x、y∈R.

（1）求動點P（x,y）的軌跡方程；

（2）過點M（0，3），作直線l與曲線C交于A,B兩點，設ON=OA+OB，問是否存在直線l，使得四邊形OANB為矩形？若存在，求出l的方程；若不存在，請說明理由.

Answer 1

解:（1）∵i=(1,0),j=(0,1),|a|+|b|=8,∴=8，

即點P(x, y)到點（0，—2）與點（0，2）的距離之和為8.

設F₁（0，—2），F₂（0，2），∴|F ₁F₂|=4，|PF₁|+|PF₂|=8＞|F₁F₂|，

由橢圓定義知點P的軌跡C是以F₁.F₂為焦點的橢圓.

∵2a=8, 2c=4,∴a=4, c=2,∴b²=a²—c²=12,

∴所求軌跡C方程為=1.

（2）∵，∴OANB是平行四邊形.

∵l過點M（0，3），若l是y軸，則A,B是橢圓的頂點，此時=0，

∴N與O重合，這與四邊形是平行四邊形矛盾.所以直線l的斜率k必存在.

設直線l的方程為y=kx+3,A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),

若存在直線l使得OANB是矩形，則，OAOB∴=0，即x₁x₂+y ₁y₂=0.

而y₁y₂=(kx₁+3)(kx₂+3)=k²x₁x₂+3k(x₁+x₂)+9，

∴(1+k²)x₁x₂+3k(x₁+x₂)+9=0①

由消去y，得(3k²+4)x²+18kx—21=0②

∵Δ=(18k)²—4(3k²+4)(—21)=(18k)²+84(3k²+4)＞0，

∴方程②必有兩實根x₁.x₂，且x₁+x₂=，x₁x₂=,代入①得，

-(1+k²)=0,解得k²=,

∴k=±.所以存在符合題意的直線l，其方程為：

y=或y=x+3.