Question

已知函數f(x)=

2x+1

x+a

(x≠-a，a≠

1

2

)
（1）求f（x）的反函數f^-1（x）；
（2）若f（x）=f^-1（x），求a的值．

Answer 1

分析：（1）根據求反函數的步驟，先用y表示出x，再交換兩者的位置即可得到f（x）的反函數f^-1（x）；
（2）若f（x）=f^-1（x），由于兩個函數是同一個函數，故可由同一性得到參數a的方程，解出a

解答：解：（1）f(x)=2+

1-2a

x+a

則y≠2∴y-2=

1-2a

x+a

，x+a=

1-2a

y-2

，x=

1-2a

y-2

-a
∴反函數f-1(x)=

1-2a

x-2

-a(x≠2)．
（2）由f（x）=f^-1（x），有2+

1-2a

x+a

=-a+

1-2a

x-2

即（a+2）（x-2）（x+a）=（a+2）（1-2a）
使上式對x≠2且x≠a都成立，則a=-2

點評：本題考查求反函數，解題的關鍵是理解反函數的定義，根據定義求出反函數，解答二中利用函數相同，根據同一性求出參數的方程求參，這是同一性的一種重要運用，題后要總結一下．