Question

已知奇函數f（x）對任意實數x滿足f（2-x）=f（x）且當x∈[0，1]時，f（x）=x•4^x，則在區間[0，8]上，不等式f（x）＞1的解是

 

．

Answer 1

分析：先利用條件求出x∈[0，1]時，不等式f（x）＞1的解，再利用題中條件f（2-x）=f（x）求得的對稱軸以及奇函數與f（2-x）=f（x）求得的周期來求在區間[0，8]上，不等式f（x）＞1的解即可．

解答：解：由x∈[0，1]時，f（x）=x•4^x＞1解得

1

2

＜x≤1，
由于f（2-x）=f（x）得函數關于直線x=1對稱，
所以函數在x∈[1，2]時，f（x）＞1可解得1≤x＜

3

2

，
即在x∈[0，2]時，滿足f（x）＞1的解為（

1

2

，

3

2

），
又函數為奇函數，f（x）=-f（-x），所以得f（2-x）=-f（-x），可得周期為4．
所以當x∈（

1

2

+4，

3

2

+4）即x∈（

9

2

，

11

2

），也滿足f（x）＞1．
故答案為    （

1

2

，

3

2

）∪（

9

2

11

2

）．

點評：本題主考查抽象函數的周期性、對稱性以及奇偶性，抽象函數是相對于給出具體解析式的函數來說的，它雖然沒有具體的表達式，但是有一定的對應法則，滿足一定的性質，這種對應法則及函數的相應的性質是解決問題的關鍵．抽象函數的抽象性賦予它豐富的內涵和多變的思維價值，可以考查類比猜測，合情推理的探究能力和創新精神．