Question

已知曲線C：x²+y²-2ax-2（a-1）y-1+2a=0．
（1）證明：不論a取何實數，曲線C必過定點；
（2）當a≠1時，若曲線C與直線y=2x-1相切，求a的值；
（3）對所有的a∈R且a≠1，是否存在直線l與曲線C總相切？如果存在，求出l的方程；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：先提取參數a，令a的系數為0，求解曲線的所過定點的坐標；對方程配方，得圓的方程，
利用直線與圓相切的條件d_{圓心到直線}=R求解（2）；
利用圓心軌跡的參數方程，可求圓心所在直線，由（1）曲線過定點，可求得定直線，再證明其符合條件即可．
或假設存在，設直線方程，利用待定系數法求解即可．

解答：解：（1）證明：曲線C的方程可變形為（x²+y²+2y-1）+（-2x-2y+2）a=0，
由

x2+y2+2y-1=0 -2x-2y+2=0

，…（2分）
解得

x=1 y=0

，點（1，0）滿足C的方程，
故曲線C過定點（1，0）．…（4分）
（2）原方程配方得（x-a）²+（y-a+1）²=2（a-1）²；由于a≠1，所以2（a-1）²＞0，
所以C的方程表示圓心是（a，a-1），半徑是

2

|a-1|的圓．…（6分）
由題意得圓心到直線距離d=

|a|

5

，…（8分）
∴

2

|a-1|=

|a|

5

，解得a=

10± 10

9

．…（10分）
（3）法一：由（2）知曲線C表示圓設圓心坐標為（x，y），則有

x=a y=a-1

，
消去a得y=x-1，故圓心必在直線y=x-1上．
又曲線C過定點（1，0），所以存在直線l與曲線C總相切，…（12分）
直線l過點（1，0）且與直線y=x-1垂直；
∴l方程為y=-（x-1）即y=-x+1．…（16分）
法二：假設存在直線l滿足條件，顯然l不垂直于x軸，設l：y=kx+b，
圓心到直線距離d=

|ka+b-a+1|

1+k2

，
∴

|ka+b-a+1|

1+k2

=

2

|a-1|對所有的a∈R且a≠1都成立，…（12分）
即（k+1）²a²-2（2k²+k+kb-b+1）a+2k²+2-（b+1）²=0恒成立
∴

(k+1)2=0 2k2+k+kb-b+1=0 2(k+1)2-(b+1)2=0

∴

k=-1 b=1

∴存在直線l：y=-（x-1）即y=-x+1與曲線C總相切．…（16分）

點評：本題考查曲線過定點問題和直線與圓的位置關系；利用曲線方程概念可證曲線過定點問題；直線與圓的位置關系是：相交（d_{圓心到直線＜}R），相切（d_{圓心到直線}=R），相離（d_{圓心到直線＞}R）；解決直線的存在性問題的一般思路：一是根據條件判斷，求出已知直線，證明其符合條件；二是假設存在，設直線方程，利用待定系數法求出（或證明矛盾，不存在）．