Question

設(shè)函數(shù)f(x)＝x³－x²＋bx＋c，其中a>0，曲線y＝f(x)在點(diǎn)P(0，f(0))處的切線方程為y＝1.
(1)確定b，c的值；
(2)設(shè)曲線y＝f(x)在點(diǎn)(x₁，f(x₁))及(x₂，f(x₂))處的切線都過(guò)點(diǎn)(0,2)．
證明：當(dāng)x₁≠x₂時(shí)，f ′(x₁)≠f ′(x₂)；
(3)若過(guò)點(diǎn)(0,2)可作曲線y＝f(x)的三條不同切線，求a的取值范圍．

Answer 1

解：(1)由f(x)＝x³－x²＋bx＋c，得f(0)＝c，f ′(x)＝x²－ax＋b，f ′(0)＝b，
又由曲線y＝f(x)在點(diǎn)P(0，f(0))處的切線方程為y＝1，得f(0)＝1，f ′(0)＝0，故b＝0，c＝1.
(2)f(x)＝x³－x²＋1，f ′(x)＝x²－ax，由于點(diǎn)(t，f(t))處的切線方程為y－f(t)＝f ′(t)(x－t)，
而點(diǎn)(0,2)在切線上，所以2－f(t)＝f ′(t)(－t)，化簡(jiǎn)得t³－t²＋1＝0，
即t滿足的方程為t³－t²＋1＝0，
下面用反證法證明：假設(shè)f ′(x₁)＝f ′(x₂)，
由于曲線y＝f(x)在點(diǎn)(x₁，f(x₁))及(x₂，f(x₂))處的切線都過(guò)點(diǎn)(0,2)，則下列等式成立：

由③得x₁＋x₂＝a，由①－②得x₁²＋x₁x₂＋x₂2＝a²④
又x₁²＋x₁●x₂＋x₂²＝(x₁＋x₂)²－x₁x₂＝a²－x₁(a－x₂)＝x₁²－ax₁＋a²＝(x₁－)²＋a²≥a²
故由④得，x₁＝，此時(shí)x₂＝與x₁≠x₂矛盾，所以f ′(x₁)≠f ′(x₂)．
(3)由(2)知，過(guò)點(diǎn)(0,2)可作y＝f(x)的三條切線，等價(jià)于方程2－f(t)＝f ′(t)(0－t)有三個(gè)相異的實(shí)根，即等價(jià)于方程t³－t²＋1＝0有三個(gè)相異的實(shí)根．
設(shè)g(t)＝t³－t²＋1，則g′(t)＝2t²－at＝2t(t－)
由于a>0，故有

由g(t)的單調(diào)性可知：要使g(t)＝0有三個(gè)相異的實(shí)根，當(dāng)且僅當(dāng)1－<0，即a>，
∴a的取值范圍是(，＋∞)