Question

如圖，正方形OABC的邊長為2．
（1）在其四邊或內部取點P（x，y），且x，y∈Z，求事件：“|OP|＞1”的概率；
（2）在其內部取點P（x，y），且x，y∈R，求事件“△POA，△PAB，△PBC，△PCO的面積均大于

2

3

”的概率．

Answer 1

考點：幾何概型

專題：概率與統計

分析：（1）分析出正方形的四邊和內部取點P（x，y），且x，y∈Z的全部基本事件個數，及滿足“|OP|＞1”的基本事件個數，代入古典概型公式可得事件“|OP|＞1”的概率；
（2）求出滿足條件的所有基本事件對應的平面區域Ω的面積，及滿足條件“△POA，△PAB，△PBC，△PCO的面積均大于

2

3

的平面區域面積，代入幾何概型公式，可得事件“△POA，△PAB，△PBC，△PCO的面積均大于

2

3

”的概率

解答： 解：（1）在正方形的四邊和內部取點P（x，y），且x，y∈Z，所有可能的事件是
（0，0），（0，1），（0，2），（1，0），（1，1），
（1，2），（2，0），（2，1），（2，2），
其中滿足|OP|＞1的事件是
（0，2），（1，1），（1，2），（2，0），（2，1），（2，2），
所以滿足|OP|＞1的概率為

2

3

．（6分）
（2）在正方形內部取點，其總的事件包含的區域面積為4，
由于各邊長為2，

2

3

所以要使△POA，△PAB，△PBC，△PCO的面積均大于

2

3

，
應該三角形的高大于

2

3

，
所以這個區域為每個邊長從兩端各去掉

2

3

后剩余的正方形，
其面積為

2

3

×

2

3

=

4

9

，
所以滿足條件的概率為

4 9

4

=

1

9

．（12分）

點評：本題考查的知識點是幾何概型，及古典概型，其中求出所有基本事件個數（對應區域面積）和滿足條件的基本事件個數（對應區域面積）是解答的關鍵．