Question

用數學歸納法證明下述整除問題：

求證：11ⁿ⁺²+12²ⁿ⁺¹(n∈N^*)被133整除.

Answer 1

思路分析：數學歸納法證明有關數或式的整除問題時，要充分利用整除的性質，若干個數（或整式）都能被某一個數（或整式）整除，則其和、差、積也能被這個數（或整式）整除.

證明：(Ⅰ)當n=1時，11³+12³=1 331+1 728=3 059=133×23能被133整除，

∴當n=1時命題正確；

(Ⅱ)假設當n=k時命題正確，即11^k+2+12^2k+1能被133整除，

∴當n=k+1時，

11^k+3+12^2k+3=11×(11^k+2+12^2k+1)+12^2k+3-11×12^2k+1

=11×(11^k+2+12^2k+1)+12^2k+1×(12²-11)

=11×(11^k+2+12^2k+1)+12^2k+1×133.

能被133整除，即當n=k+1時命題也正確.

由(Ⅰ)(Ⅱ)知命題對n∈N^*都正確.

方法歸納

（1）證明整除性問題時，常用到以下整除的性質：

若a|b，且a|c，則a|(b±c);

若a|b，則a|bc，“a|b”表示a能整除b或b能被a整除.

（2）在由n=k時命題成立，證明n=k+1，命題也成立時，要注意設法化去增加的項，通常要用到拆項、結合、添項、減項、分解、化簡等技巧.