Question

如圖，已知A、B為橢圓和雙曲線的公共頂點，P、Q分別為雙曲線和橢圓上不同于A、B的動點，且．設AP、BP、AQ、BQ的斜率分別為k₁、k₂、k₃、k₄．
（1）求證：；
（2）求k₁+k₂+k₃+k₄的值；
（3）設F₁、F₂分別為雙曲線和橢圓的右焦點，若PF₁∥QF₂，求k₁²+k₂²+k₃²+k₄²的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）設P（x₁，y₁），則k₁•k₂=•=，再利用點P（x₁，y₁）在雙曲線上，從而可證；
（2）先計算k₁+k₂=+==•，設Q（x₂，y₂）同理可得k₃+k₄=-•，與共線⇒=，從而可求得k₁+k₂+k₃+k₄的值；
（3）由（2）可求得∴（k₁+k₂）²=4•，（k₃+k₄）²=4•，PF₁∥QF₂⇒|OF₁|=λ|OF₂|⇒λ²=⇒=，從而得到（k₁+k₂）²=4，（k₃+k₄）²=4；問題即可解決．
解答：（1）證明：設P（x₁，y₁），k₁•k₂=•=，且，
∴x₁²-a²=•y₁²，
∴；
（2）解：∵k₁+k₂=+===•，
設Q（x₂，y₂），同理可得k₃+k₄=-•，
又與共線，
∴x₁=λx₂，y₁=λy₂，
∴=，
∴k₁+k₂+k₃+k₄=（-）=0；
（3）解：∵，
∴，又，
∴，又，
∴，
又∵若PF₁∥QF₂，
∴|OF₁|=λ|OF₂|，
∴λ²=，
∴=•=，
∴（k₁+k₂）²=4•=4•=4；
同理（k₃+k₄）²=4；
又，，
∴k₁²+k₂²+k₃²+k₄²=（k₁+k₂）²+（k₃+k₄）²-2（k₁•k₂+k₃•k₄）=4+4-0=8．
點評：本題考查圓錐曲線的綜合，著重考查整體代換與方程思想，培養學生綜合分析問題、解決問題的能力，屬于難題．