Question

已知函數f（x）=Asin（ωx+φ），x∈R（其中A＞0，ω＞0，0＜φ＜

π

2

）的圖象如圖所示．
（1）求f（x）的解析式；
（2）將函數y=f（x）的圖象向右平移

π

6

個單位后，再將得到的圖象上各點的橫坐標伸長到原來的4倍，縱坐標不變，得到函數y=g（x）的圖象，求g（x）的對稱軸方程；
（3）當x∈[0，

π

2

]時，方程f（x）=2a-3有兩個不等的實根x₁，x₂，求實數a的取值范圍，并求此時x₁+x₂的值．

Answer 1

分析：（1）由圖知，A=2，由T=π，可求得ω，由2sin（2×

π

6

+φ）=2可求得φ；
（2）由函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換可求得g（x）=2sin（

x

2

-

π

6

），由正弦函數的性質即可求得g（x）的對稱軸方程；
（3）由x∈[0，

π

2

]⇒2x+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]，方程f（x）=2a-3有兩個不等實根時，y=f（x）的圖象與直線y=2a-3有兩個不同的交點，從而可求得a的取值范圍；
（法一）當x∈[0，

π

2

]，時，利用f（x₁）=f（x₂），即可求得x₁+x₂的值；
（法二）令2x+

π

6

=

π

2

+kπ，可求得x=

kπ

2

+

π

6

，（k∈Z），利用f（x）的對稱軸方程為x=

kπ

2

+

π

6

即可求得x₁+x₂的值．

解答：解：（1）由圖知，A=2．--------（1分）
T=π，ω=

2π

T

=

2π

π

=2-----（2分）
由2sin（2×

π

6

+φ）=2，即sin（

π

3

+φ）=1，故

π

3

+φ=

π

2

+2kπ，k∈Z，
所以φ=

π

6

+2kπ，k∈Z，
又φ∈（0，

π

2

），所以φ=

π

6

---（3分）
故f（x）=2sin（2x+

π

6

）-------（4分）
（2）將f（x）的圖象向右平移

π

6

個單位后，得到f（x-

π

6

）的圖象，再將所得圖象橫坐標伸長到原來的4倍，
縱坐標不變，得到f（

x

4

-

π

6

）的圖象，
所以g（x）=f（

x

4

-

π

6

）=2sin[2（

x

4

-

π

6

）+

π

6

）]=2sin（

x

2

-

π

6

）-------（6分）
令

x

2

-

π

6

=

π

2

+kπ，--------（7分）
則x=

4π

3

+2kπ（k∈Z），所以g（x）的對稱軸方程為x=

4π

3

+2kπ（k∈Z），..-（8分）
（3）∵x∈[0，

π

2

]，
∴2x+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]--------（9分）
∴當方程f（x）=2a-3有兩個不等實根時，y=f（x）的圖象與直線y=2a-3有兩個不同的交點
∴1≤2a-3＜2--------（11分）
∴2≤a＜

5

2

--------（12分）
（法一）當x∈[0，

π

2

]，時，f（x₁）=f（x₂），
所以（2x₁+

π

6

）+（2x₂+

π

6

）=π，
所以x₁+x₂=

π

3

；
（法二）令2x+

π

6

=

π

2

+kπ，則x=

kπ

2

+

π

6

，（k∈Z）
所以f（x）的對稱軸方程為x=

kπ

2

+

π

6

，（k∈Z）
又∵x∈[0，

π

2

]，
∴

x1+x2

2

=

π

6

，所以x₁+x₂=

π

3

；--（14分）

點評：本題考查：由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式，考查函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換及三角函數性質的綜合應用，屬于難題．