Question

已知f(x)=在區間[－1，1]上是增函數.
（Ⅰ）求實數a的值組成的集合A；
（Ⅱ）設關于x的方程f(x)=的兩個非零實根為x₁、x₂.試問：是否存在實數m，使得不等式m²+tm+1≥|x₁－x₂|對任意a∈A及t∈[－1，1]恒成立？若存在，求m的取值范圍；若不存在，請說明理由.

Answer 1

解：（Ⅰ）A={a|－1≤a≤1}.（Ⅱ）{m|m≥2，或m≤－2}.

試題分析：
思路分析：（Ⅰ）根據f(x)在[－1，1]上是增函數，可得到f＇(x)≥0對x∈[－1，1]恒成立，即x²－ax－2≤0對x∈[－1，1]恒成立.轉化成(x)=x²－ax－2，二次函數問題。處理的方法較多。
（Ⅱ）由
從而可以得到x²－ax－2=0的兩非零實根x₁，x₂的關系，將問題轉化成
“要使不等式m²+tm+1≥|x₁－x₂|對任意a∈A及t∈[－1，1]恒成立，
當且僅當m²+tm+1≥3對任意t∈[－1，1]恒成立，
即m²+tm－2≥0對任意t∈[－1，1]恒成立“同樣將問題轉化成二次函數問題。      
解：（Ⅰ）f＇(x)=4+2 ∵f(x)在[－1，1]上是增函數，
∴f＇(x)≥0對x∈[－1，1]恒成立，
即x²－ax－2≤0對x∈[－1，1]恒成立.       ①
設(x)=x²－ax－2，
方法一：
① －1≤a≤1，
∵對x∈[－1，1]，只有當a=1時，f＇(-1)=0以及當a=－1時，f＇(1)=0
∴A={a|－1≤a≤1}.
方法二：
① 或
0≤a≤1或－1≤a<0
 －1≤a≤1.
∵對x∈[－1，1]，只有當a=1時，f＇(－1)=0以及當a=－1時，f＇(1)=0
∴A={a|－1≤a≤1}.
（Ⅱ）由
∵△=a²+8>0
∴x₁，x₂是方程x²－ax－2=0的兩非零實根，
∴ 
從而|x₁－x₂|==.
∵－1≤a≤1，∴|x₁-x₂|=≤3.
要使不等式m²+tm+1≥|x₁－x₂|對任意a∈A及t∈[－1，1]恒成立，
當且僅當m²+tm+1≥3對任意t∈[－1，1]恒成立，
即m²+tm－2≥0對任意t∈[－1，1]恒成立.       ②
設g(t)=m²+tm－2=mt+(m²－2)，
方法一：
②
m≥2或m≤－2.
所以，存在實數m，使不等式m²+tm+1≥|x₁－x₂|對任意a∈A及t∈[－1，1]恒成立，其取值范圍是{m|m≥2，或m≤－2}.
方法二：
當m=0時，②顯然不成立；
當m≠0時，
②或
 m≥2或m≤－2.
所以，存在實數m，使不等式m²+tm+1≥|x₁－x₂|對任意a∈A及t∈[-1，1]恒成立，其取值范圍是{m|m≥2，或m≤－2}.
點評：中檔題，本題主要利用“轉化與化歸思想”，將問題轉化成二次函數在閉區間的最值問題，通過確定函數的最值，達到確定參數范圍的目的。