Question

已知直線(m+1)x+(n+

1

2

)y=

6+ 6

2

與圓(x-3)2+(y-

6

)2=5相切，若對任意的m，n∈R⁺均有不等式2m+n≥k成立，那么正整數k的最大值是（　　）

A．3

B．5

C．7

D．9

Answer 1

分析：利用圓心（3，

6

）到直線（m+1）x+（n+

1

2

）y-

6+ 6

2

=0的距離等于半徑

5

，令2m+n=t，求得t的最小值即為正整數k的最大值．

解答：解：∵直線（m+1）x+（n+

1

2

）y-

6+ 6

2

=0與圓（x-3）²+(y-

6

)2=5相切，
∴圓心（3，

6

）到直線（m+1）x+（n+

1

2

）y-

6+ 6

2

=0的距離d等于半徑

5

，
即d=

|3(m+1)+ 6 (n+ 1 2 )- 6+ 6 2 |

(m+1)2+(n+ 1 2 )2

=

5

，
∴

|3m+ 6 n|

(m+1)2+(n+ 1 2 )2

=

5

，
兩端平方，整理得：4m²+n²-5（2m+n）-

25

4

=-6

6

mn，
即（2m+n）²-5（2m+n）-

25

4

=（4-6

6

）mn．
∴（3

6

-2）•2mn=

25

4

+5（2m+n）-（2m+n）²≤（3

6

-2）•(

2m+n

2

)2，
令t=2m+n（t＞0），
則（3

6

+2）t²-20t-25≥0，
∵△=（-20）²-4×（-25）×（3

6

+2）=600+300

6

，
∴t≥

20+10 6+3 6

2(3 6 +2)

=

10+5 6+3 6

(3 6 +2)

，
∴t_min=

10+5 6+3 6

(3 6 +2)

∈（3，4），
∵正整數k≤2m+n=t恒成立，
∴k=3．
故選A．

點評：本題考查直線與圓的位置關系，突出考查點到直線間的距離及運算能力，考查轉化思想與方程思想的綜合應用，屬于難題．