Question

設x，y滿足約束條件

x-3y+1≥0 2x-3y-1≤0 x≥0，y≥0

，若目標函數z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值為1，則正數a，b滿足的關系是

2a+b=1

，

1

a

+

2

b

的最小值是

8

．

Answer 1

分析：先由約束條件畫出可行域，如圖所示，找出最優解B（2，1），進而使用基本不等式的性質即可求出最小值．

解答：解：由x，y滿足約束條件

x-3y+1≥0 2x-3y-1≤0 x≥0，y≥0

，畫出可行域如圖所示：聯立

x-3y+1=0 x-3y-1=0

解得

x=2 y=1

，即B（2，1）．
∵a＞0，b＞0，∴-

a

b

＜0，∴當目標函數y=-

a

b

x+

z

b

經過點B（2，1）時，

z

b

取得最大值，即z取得最大值1，
∴2a+b=1．
∴

1

a

+

2

b

=(2a+b)(

1

a

+

2

b

)=2+2+

b

a

+

4a

b

≥4+2

b a × 4a b

=8，當且僅當2a=b=

1

2

時取等號．
故答案為2a+b=1，8．

點評：由約束條件畫出可行域并找出最優解及靈活使用基本不等式的性質是解題的關鍵．