Question

下列命題中：
①f（x）的圖象與f（-x）關于y軸對稱．
②f（x）的圖象與-f（-x）的圖象關于原點對稱．
③y=|lgx|與y=lg|x|的定義域相同，它們都只有一個零點．
④二次函數f（x）滿足f（2-x）=f（2+x）并且有最小值，則f（0）＜f（5）．
⑤若定義在R上的奇函數f（x），有f（3+x）=-f（x），則f（2010）=0
其中所有正確命題的序號是

①②④⑤

．

Answer 1

分析：①②可以根據偶函數和奇函數的定義進行證明；
③根據對數函數的性質以及絕對值的性質進行求解；
④可以根據f（2-x）=f（2+x），求出其對稱軸，有最小值，開口向上，利用圖象進行求解；
⑤根據在R上的奇函數f（x），有f（3+x）=-f（x），求出其周期后進行判斷；

解答：解：①f（x）的圖象與f（-x），對任意的（a，f（a））在f（x）的圖象上，可得關于y軸對稱的點（-a，f（a））在f（-x）的圖象上，故①正確；
②f（x）的圖象與-f（-x）的圖象，對任意的（a，f（a））在f（x）的圖象上，可得關于原點對稱的點（-a，-f（a））在-f（-x）的圖象上，故②正確；
③y=|lgx|可得定義域為：{x|x＞0}，y=lg|x|的定義域為{x|x≠0}，故③錯誤；
④二次函數f（x）滿足f（2-x）=f（2+x），對稱軸為x=

2-x+2+x

2

=2，f（x）有最小值，故函數開口向上，可知f（0）=f（4），f（x）在（2，+∞）上為增函數，∴f（0）=f（4）＜f（5），故④正確；
⑤定義在R上的奇函數f（x），可得f（0）=0，
∵有f（3+x）=-f（x），可得f（x+3）=-f（x+6），可得f（x）=f（x+6），其周期為T=6，
∴f（2010）=f（335×6）=f（0）=0，故⑤正確；
故答案為①②④⑤；

點評：此題主要考查命題的真假命題的判定及其應用，考查了對數函數的性質以及奇函數的性質，是一道基礎題；