Question

已知函數f(x)=x³+bx²+cx+d(a＞0)的圖象過點P(0,2),且在點M(-1,f(-1))處的切線方程是6x-y+7=0.

(1)求函數y=f(x)的解析式;

(2)求函數y=f(x)的單調區間.

Answer 1

(1)f(x)=x³-3x²-3x+2.?

(2)f(x)=x³-3x²-3x+2在(-∞,1-)和(1+,+∞)上是增函數,在(1-,1+)上是減函數.

解析:(1)由f(x)的圖象經過P(0,2),知d=2,所以f(x)=x³+bx²+cx+2,f′(x)=3x²+2bx+c.?

由在M(-1,f(-1))處的切線方程是6x-y+7=0,知-6-f(-1)+7=0,即(-1)=1,f′(-1)=6.?

∴?

即  解得b=c=-3.?

故所求的解析式是f(x)=x³-3x²-3x+2.?

(2)f′(x)=3x²-6x-3.?

令3x²-6x-3=0,即x²-2x-1=0.?

解得x₁=1-2,x₂=1+.?

當x＜1-或x＞1+時,f′(x)＞0;?

當1-＜x＜1+時,f′(x)＜0.?

故f(x)=x³-3x²-3x+在（-∞,1-）內是增函數,在(1-,1+)內是減函數,在(1+,+∞)內是增函數.