Question

已知數(shù)列中，，且．

(Ⅰ) 求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

(Ⅱ) 令，數(shù)列的前項(xiàng)和為，試比較與的大小；

(Ⅲ) 令，數(shù)列的前項(xiàng)和為．求證：對(duì)任意，

都有 ．

Answer 1

（Ⅰ） （Ⅱ）當(dāng)時(shí),；當(dāng)時(shí), ；

當(dāng)時(shí),．  (Ⅲ) 見(jiàn)解析

解析:

(Ⅰ)由題知， ，

由累加法，當(dāng)時(shí)，

代入，得時(shí)，

又，故．                        ．．．．．．．．．．．．．．．．4分

（II）時(shí)，．

方法1：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；

當(dāng)時(shí)，．

猜想當(dāng)時(shí)，．                                ．．．．．．．．．．．．．．．．6分

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：

①當(dāng)時(shí)，由上可知成立；

②假設(shè)時(shí)，上式成立，即.

當(dāng)時(shí)，左邊

，所以當(dāng)時(shí)成立．

由①②可知當(dāng)時(shí),．                        

綜上所述：當(dāng)時(shí),；當(dāng)時(shí), ；

當(dāng)時(shí),．                       ．．．．．．．．．．．．．．．10分

方法2：

記函數(shù)

所以                     ．．．．．．．．．6分

則

所以．

由于，此時(shí)；

，此時(shí)；

，此時(shí)；

由于，，故時(shí)，，此時(shí)．

綜上所述：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí),．    ．．．．．．．．．．．10分

（III）

當(dāng)時(shí)，

所以當(dāng)時(shí)

＋．

且

故對(duì)，得證．                               ．．．．．．．．．．．．．．．．．14分