Question

已知函數(shù)在上的最小值為，，是函數(shù)圖像上的兩點(diǎn)，且線段的中點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為.

   （1）求證：點(diǎn)P的縱坐標(biāo)是定值;

   （2）若數(shù)列的通項(xiàng)公式為, 求數(shù)列的前m項(xiàng)和；

   （3）設(shè)數(shù)列滿足:，設(shè)，

若（2）中的滿足對任意不小于2的正整數(shù)n, 恒成立, 試求m的最大值.

Answer 1

解：（1）當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，又的最小值為，

∴，得t=1 ;

當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，又的最小值為，

∴，得t=2（舍） ;

當(dāng)t = 0時(shí)，（舍），

∴t = 1, .

∵ ∴，

∴，即p點(diǎn)的縱坐標(biāo)為定值。

   （2）由(1)可知, , 所以,

即

由, … ① 

得 …②

由①＋②, 得

∴ 

   （3） ∵, ……③ 

∴對任意的. ……④

由③、④, 得 即.

∴.

∵

∴數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列.

∴關(guān)于n遞增. 當(dāng), 且時(shí), .

∵

∴∴即

∴ ∴m的最大值為6.