Question

在等差數(shù)列{a_n}中，a₁=1，前n項和S_n滿足條件

S2n

Sn

=4，n=1，2，…
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式和S_n；
（2）記b_n=an•2n-1，求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析：（1）將n=1代入已知遞推式，易得a₂，從而求出d，故a_n可求；
（2）求出數(shù)列{b_n}的通項公式，利用錯位相減法即可求出數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．

解答：解：（1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，由

S2n

Sn

=4得：

a1+a2

a1

=4，
所以a₂=3a₁=3且d=a₂-a₁=2，所以a_n=a₁+（n-1）d=2n-1，
∴Sn=

n(1+2n-1)

2

=n²；
（2）由b_n=an•2n-1，得b_n=（2n-1）•2^n-1．
∴T_n=1+3•2¹+5•2²+…+（2n-1）•2^n-1       ①
2T_n=2+3•2²+5•2³+…+（2n-3）•2^n-1+（2n-1）•2ⁿ    ②
①-②得：-T_n=1+2•2¹+2•2²+…+2•2^n-1-（2n-1）•2ⁿ=2（1+2+2²+…+2^n-1）-（2n-1）•2ⁿ-1
=

2(1-2n)

1-2

-（2n-1）•2ⁿ-1
∴-T_n=2ⁿ•（3-2n）-3．
∴T_n=（2n-3）•2ⁿ+3．

點評：本題主要考查對數(shù)列遞推關(guān)系的觀察能力和利用錯位相減法求和的能力，屬于中檔題．