Question

（2012•江西模擬）設函數f（x）=xsinx（x∈R）則f（log 

1

2

16），f（

4π

3

），f（

5π

4

）的大小關系為

f（

4π

3

）＜f（log 

1

2

16）＜f(

5π

4

)

（用“＜”連接）

Answer 1

分析：利用f′（x）=sinx+xcosx，利用f′（

4π

3

）＜0，可分析出f（x）在（π，

4π

3

]上單調遞減，從而使問題解決．

解答：解：∵f（-x）=-xsin（-x）=xsinx=f（x），
∴f（x）=xsinx為偶函數．
又log 

1

2

16=log

1

2

(

1

2

)-4=-4，
∴f（log 

1

2

16）=f（-4）=f（4）；
∵f′（x）=sinx+xcosx，
∴當∈（π，

3π

2

）時，sinx＜0，cosx＜0，
∴f′（x）=sinx+xcosx＜0，
∴f（x）在（π，

3π

2

]上單調遞減，
又f′（

4π

3

）=sin

4π

3

+

4π

3

cos

4π

3

=-

3

2

-

1

2

×

4π

3

＜0，
∴當

3π

2

＜x≤

4π

3

，f′（x）＜0，
綜上所述，當π＜x≤

4π

3

時，f′（x）＜0，
∴f（x）在（π，

4π

3

]上單調遞減．
∵π＜

5π

4

＜4＜

4π

3

，
∴f（

5π

4

）＞f（4）＞f（

4π

3

）；
故答案為：f（

4π

3

）＜f（log 

1

2

16）＜f（

5π

4

）．

點評：本題考查不等式比較大小，考查導數的應用，利用導數分析得到f（x）在（π，

4π

3

]上單調遞減是關鍵，也是難點，屬于難題．