Question

（本題滿分16分）兩鎮A和B相距20km，現計劃在兩鎮外以AB為直徑的半圓弧上選擇一點C建造垃圾處理廠，其對鎮區的影響度與所選地點到鎮的的距離有關，對鎮A和鎮B的總影響度為鎮A與鎮B的影響度之和，記C點到鎮A的距離為x km，建在C處的垃圾處理廠對鎮A和鎮B的總影響度為y，統計調查表明：垃圾處理廠對鎮A的影響度與所選地點到鎮A的距離的平方成反比，比例系數為4；對鎮B的影響度與所選地點到鎮B的距離的平方成反比，比例系數為k，當垃圾處理廠建在的中點時，對鎮A和鎮B的總影響度為0.065．

（Ⅰ）將y表示成x的函數；

（Ⅱ）討論（Ⅰ）中函數的單調性，并判斷弧上是否存在一點，使建在此處的垃圾處理廠對鎮A和鎮B的總影響度最小？若存在，求出該點到鎮A的距離;若不存在，說明理由．

Answer 1

（Ⅰ）  

解析:

（Ⅰ）如圖,由題意知AC⊥BC,,

其中當時，y=0.065,所以k=9

所以y表示成x的函數為

（Ⅱ）,,令得,所以,即,當時, ,即所以函數為單調減函數,當時, ,即所以函數為單調增函數.所以當時, 即當C點到鎮A的距離為時, 函數有最小值.所以弧上存在一點，當時使建在此處的垃圾處理廠對鎮A和鎮B的總影響度最小.