Question

已知函數f(x)=log

1

2

[(

1

2

)x-1]，
（Ⅰ）求f（x）的定義域； 
（Ⅱ）討論f（x）的單調區間．

Answer 1

分析：（1）由(

1

2

)x-1＞0，解得x＜0，從而求得f（x）的定義域．
（2）利用函數的單調性的定義證明f（x）在（-∞，0）上為增函數．

解答：解：（1）由(

1

2

)x-1＞0，解得x＜0，
∴f（x）的定義域為（-∞，0）．
（2）證明：設x₁，x₂∈（-∞，0）且x₁＜x₂，
∴(

1

2

)x2＜(

1

2

)x1，則0＜(

1

2

)x2-1＜(

1

2

)x1-1，
因此：log

1

2

[(

1

2

)x2-1]＞log

1

2

[(

1

2

)x1-1]，
即：f（x₁）＜f（x₂），則f（x）在（-∞，0）上為增函數．

點評：本題主要考查復合函數的單調性，函數的單調性的判斷和證明，屬于中檔題．