Question

四個函數y=x³，y=|x|，y=x+

1

x

，y=e^x中，是奇函數且在（0，+∞）上單調遞增的函數的個數是（　　）

A．4

B．3

C．2

D．1

Answer 1

分析：先判定四個函數中，是奇函數的有那些，再判定是奇函數且在（0，+∞）上單調遞增的函數．

解答：解：四個函數y=x³，y=|x|，y=x+

1

x

，y=e^x中，是奇函數的有①y=x³，②y=x+

1

x

兩個，因為y=|x|是偶函數，y=e^x是非奇非偶的函數，
又①是常見的冪函數，圖象在第一象限內從左向右上升，是增函數；
②y=x+

1

x

，用函數單調性定義證明，任取x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，
∴f（x₁）-f（x₂）=（x₁+

1

x1

）-（x₂+

1

x2

）=（x₁-x₂）+

x2-x1

x1x2

=

(x1-x2)(x1x2-1)

x1x2

；
∵0＜x₁＜x₂，∴x₁-x₂＜0，x₁x₂＞0；
∴當1≤x₁＜x₂時，f（x₁）-f（x₂）＜0，f（x）是增函數，
當0＜x₁＜x₂≤1時，f（x₁）-f（x₂）＞0，f（x）是減函數，
故②不滿足條件；
所以，是奇函數且在（0，+∞）上單調遞增的函數只有①；
故選：D．

點評：本題考查了函數的奇偶性和單調性，判定一般用定義或圖象兩種常用方法，是基礎題目．