Question

已知函數f（x）=x²-1，g（x）=a|x-1|．
（1）若關于x的方程|f（x）|=g（x）只有一個實數解x=1，求實數a的取值范圍；
（2）若當x∈R時，不等式f（x）≥g（x）恒成立，求實數a的取值范圍；
（3）若實數a∈[0，+∞），求函數h（x）=|f（x）|+g（x）在區間[-2，2]上的最大值．

Answer 1

分析：（1）將關于x的方程|f（x）|=g（x）變形可得|x-1|（|x+1|-a）=0，從而確定有一個根為1，將問題轉化為求方程|x+1|=a有且僅有一個等于1的根或者無根，利用數形結合的方法，即可求得實數a的取值范圍；
（2）不等式（x²-1）≥a|x-1|對x∈R恒成立，分成當x=1時恒成立，當x≠1時，利用參變量分離法得到a≤

x2-1

|x-1|

對x∈R恒成立，根據絕對值的定義，去掉絕對值，構造函數φ（x）=

x+1，x＞1 -x-1，x＜1

，求出φ（x）的取值范圍，從而得到a的取值范圍，綜合兩種情況下的a的取值，即可得到答案；
（3）討論x去絕對值，得到分段函數，然后分別結合函數的圖象得到函數的單調性從而求出函數h（x）在[-2，2]上的最大值，從而求出所求．

解答：解：（1）∵函數f（x）=x²-1，g（x）=a|x-1|，
∴關于x的方程|f（x）|=g（x），
即為|x²-1|=a|x-1|，
即為|x-1|（|x+1|-a）=0，
顯然x=1是方程的根，
∵關于x的方程|f（x）|=g（x）只有一個實數解x=1，
∴方程|x+1|=a有且僅有一個等于1的根或者無根，
結合函數圖象可得，a＜0，
∴實數a的取值范圍為a＜0；
（2）不等式f（x）≥g（x）對x∈R恒成立，
即為（x²-1）≥a|x-1|對x∈R恒成立，
①當x=1時，0≥0顯然恒成立，
∴a∈R；
②當x≠1時，（x²-1）≥a|x-1|對x∈R恒成立，可變形為a≤

x2-1

|x-1|

對x∈R恒成立，
令φ（x）=

x2-1

|x-1|

=

x+1，x＞1 -x-1，x＜1

，
∵當x＞1時，φ（x）＞2，當x＜1時，φ（x）＞-2，
∴φ（x）＞-2，
∴a≤-2，
綜合①②，實數a的取值范圍為a≤-2；
（3）∵h（x）=|f（x）|+g（x）=|x²-1|+a|x-1=

x2+ax-a-1，x≥1 -x2-ax+a+1，-1≤x≤1 x2-ax+a-1，x＜-1

，
①當

a

2

＞1，即a＞2時，結合函數的圖象可知，h（x）在[-2，1]上單調遞減，在[1，2]上單調遞增，
h（-2）=3a+3，h（2）=a+3，經比較，此時h（x）在[-2，2]上的最大值為3a+3，
②當0≤

a

2

≤1，即0≤a≤2時，結合函數圖象可知h（x）在[-2，1]，[-

a

2

，1]上單調遞減，在[-1，-

a

2

]，[1，2]上單調遞增，
且h（-2）=3a+3，h（2）=a+3，h（-

a

2

）=

a2

4

+a+1，經比較，此時h（x）在[-2，2]上的最大值為3a+3，
綜上所述，當a≥0時，h（x）在[-2，2]上的最大值為3a+3．

點評：本題考查了函數的恒成立問題，函數的最值及其幾何意義，函數的零點．對于函數的恒成立問題，一般選用參變量分離法、最值法、數形結合法進行求解．函數的零點等價于對應方程的根，等價于函數的圖象與x軸交點的橫坐標，解題時要注意根據題意合理的選擇轉化．屬于中檔題．