Question

已知函數f（x）=

ax-1

ax+1

（a＞0且a≠1）．
（1）求函數f（x）的定義域和值域；
（2）判斷函數f（x）的奇偶性；
（3）討論函數f（x）的單調性．

Answer 1

分析：（1）對于任意實數x，都有a^x＞0，進而可得函數解析式恒有意義，即可得到函數f（x）的定義域；由f（x）=1-

2

ax+1

，結合指數函數的值域利用分析法，可求出值域．
（2）任取實數x，判斷f（-x）與f（x）的關系，進而根據函數奇偶性的定義，可判斷此函數的奇偶性．
（3）任取實數x₁＜x₂，判斷f（x₁）-f（x₂）的符號，進而根據函數單調性的定義，可得答案．

解答：解：（1）∵?x∈R，都有a^x＞0，
∴a^x+1＞1，
故函數f（x）=

ax-1

ax+1

（a＞0且a≠1）的定義域為實數集R．
∵f（x）=

ax-1

ax+1

=1-

2

ax+1

，
而a^x＞0，
∴a^x+1＞1，
∴0＜

2

ax+1

＜2，
∴-2＜-

2

ax+1

＜0，
∴-1＜1-

2

ax+1

＜1．
即-1＜f（x）＜1．
∴函數f（x）的值域為（-1，1）．
（2）函數f（x）在實數集R上是奇函數．下面給出證明．
∵?x∈R，f（-x）=

a-x-1

a-x+1

=

1-ax

1+ax

=-

ax-1

ax+1

=-f（x），
∴函數f（x）在實數集R上是奇函數．
（3）?x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=1-

2

ax1+1

-（1-

2

ax2+1

）=

2(ax1-ax2)

(ax1+1)(ax2+1)

，
若a＞1，∴a^x₁+1＞0，a^x₂+1＞0，a^x₁-a^x₂＜0，
∴f（x₁）＜f（x₂），
∴當a＞1時，函數f（x）在實數集R上單調遞增．
若0＜a＜1，∴a^x₁+1＞0，a^x₂+1＞0，a^x₁-a^x₂＞0，
∴f（x₁）＞f（x₂），
∴當0＜a＜1時，函數f（x）在實數集R上單調遞減．

點評：本題綜合考查了函數的定義域、值域、奇偶性及單調性，熟練掌握以上知識及方法是解決問題的關鍵．