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如圖所示，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，AB=2，BC=1，AA₁= $數學公式$ ．
（Ⅰ）求點A₁到平面AB₁C₁的距離；
（Ⅱ）求二面角B-AB₁-C₁的余弦值．

解：（Ⅰ）設點A₁到平面AB₁C₁的距離為h，則由題意，
AC₁=3．B₁C₁=1，B₁C₁⊥AC₁
∴ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
（Ⅱ）分別以CB，CC₁，CA為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，則 $\text{[math]}$
設平面BAB₁的一個法向量為 $\text{[math]}$ ，則 $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$
同理可得平面AB₁C₁的一個法向量 $\text{[math]}$
設二面角B-AB₁-C₁的大小為α，則 $\text{[math]}$
∴二面角B-AB₁-C₁的余弦值為 $\text{[math]}$
分析：（Ⅰ）設點A₁到平面AB₁C₁的距離為h，利用等體積可求；
（Ⅱ）分別以CB，CC₁，CA為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，分別求平面BAB₁、AB₁C₁一個法向量，再利用公式求二面角B-AB₁-C₁的余弦值．
點評：本題以直三棱柱為載體，考查點面距離，考查面面角，關鍵是構建空間直角坐標系，用坐標表示向量，進而利用公式求解．

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a或2a

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如圖所示，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=BB₁，AC₁⊥平面A₁BD，D為AC的中點．
（Ⅰ）求證：B₁C₁⊥平面ABB₁A₁；
（Ⅱ）設E是CC₁的中點，試求出A₁E與平面A₁BD所成角的正弦值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

如圖所示，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=BB₁=BC，AC₁⊥平面A₁BD，D為AC的中點．
（1）求證：B₁C∥平面A₁BD；
（2）求證：B₁C₁⊥平面ABB₁A₁；
（3）在CC₁上是否存在一點E，使得∠BA₁E=45°，若存在，試確定E的位置，并判斷平面A₁BD與平面BDE是否垂直？若不存在，請說明理由．

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高中

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如圖所示，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，AB=2，BC=1，AA₁= $數學公式$ ．
（Ⅰ）求點A₁到平面AB₁C₁的距離；
（Ⅱ）求二面角B-AB₁-C₁的余弦值．

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如圖所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB=90°，AB=2，BC=1，AA1=．（Ⅰ）求點A1到平面AB1C1的距離；（Ⅱ）求二面角B-AB1-C1的余弦值．

如圖所示，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，AB=2，BC=1，AA₁= $數學公式$ ．
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（Ⅱ）求二面角B-AB₁-C₁的余弦值．