Question

已知函數f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0．|φ|＜

π

2

）在一個周期內的部分函數圖象如圖所示．
（Ⅰ）求函數f（x）的解析式．
（Ⅱ）求函數f（x）的單調遞增區間．
（Ⅲ）求函數f（x）在區間[0，1]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（I）由已知中函數f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0．|φ|＜

π

2

）在一個周期內的部分函數圖象，我們易求出函數的最大值，最小值，周期等信息，結合A，ω，φ與函數最值、周期之間的關系，易求出函數的解析式．
（II）根據（I）中所求的函數的解析式，結合正弦型函數單調性的確定方法，即可求出函數f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0．|φ|＜

π

2

）的單調遞增區間．
（Ⅲ）根據（II）的結論，我們易分析出函數在區間[0，1]上的單調性，進而得到函數f（x）在區間[0，1]上的最大值和最小值．

解答：解：（Ⅰ）由圖可得當X=

1

3

時，函數有最大值2；當X=

4

3

時，函數有最小值-2；
∴A=2，
T=2=

2π

ω

，即ω=π
∴f（x）=2sin（πx+φ）
又∵函數圖象過（

1

3

，2）點，|φ|＜

π

2

∴2=2sin（

1

3

π+φ），
解得φ=

π

6

∴f（x）=2sin（πx+

π

6

）
（II）令2kπ-

π

2

≤πx+

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈Z
則2k-

2

3

≤x≤2k+

1

3

，k∈Z
∴函數f（x）=2sin（πx+

π

6

）的單調遞增區間為[2k-

2

3

，2k+

1

3

]，（k∈Z）
（III）由（II）的結論我們可得，
函數f（x）=2sin（πx+

π

6

）在區間[0，

1

3

]上單調遞增，在區間[

1

3

，1]上單調遞減，
∴當X=

1

3

時，函數f（x）=2sin（πx+

π

6

）取最大值2，當X=1時，函數f（x）=2sin（πx+

π

6

）取最小值-1．

點評：本題考查的知識點是由函數f（x）=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式，正弦函數的單調性，三角函數的最值，其中根據函數的部分圖象確定函數的解析式是解答本題的關鍵．