Question

已知函數(shù)f（x）=x²-2ax+3，命題P：f（x）在區(qū)間[2，3]上的最小值為f（2）；命題Q：方程f（x）=0的兩根x₁，x₂滿足x₁＜-1＜x₂．若命題P與命題Q中有且只有一個真命題，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可得，f（x）=（x-a）²+3-a²，對于命題 P：由f（x）在區(qū)間[2，3]上的最小值為f（2）可求a的范圍；對于命題Q：方程f（x）=0的兩根x₁，x₂滿足x₁＜-1＜x₂，則可得f（-1）＜0，可求a的范圍，若P或Q中只有一個為真可知有兩種情況：①P真，Q假，②P假，Q真，分別可求a的范圍
解答：解：f（x）=（x-a）²+3-a²，對稱軸x=a，
對于命題 P：∵f（x）在區(qū)間[2，3]上的最小值為f（2），∴a≤2；
對于命題Q：方程f（x）=0的兩根x₁，x₂滿足x₁＜-1＜x₂，∴f（-1）＜0，∴a＜-2
∴當(dāng)P真，Q假時，∴-2≤a≤2
當(dāng)P假，Q真時，∴a∈Φ
綜上，a的取值范圍是[-2，2]．
點評：本題主要考查了命題真假的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練利用二次函數(shù)的性質(zhì)及一元二次方程的實根分布求解參數(shù)的取值范圍．