Question

已知f(x)=loga

1+x

1-x

（a＞0，且a≠1），
（1）判斷奇偶性，并證明；
（2）求使f（x）＜0的x的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先求出定義域，然后利用奇偶性的定義即可判斷；
（2）分0＜a＜1，a＞1兩種情況討論，當0＜a＜1時，有

-1＜x＜1 1+x 1-x ＞1

，當a＞1時，有

-1＜x＜1 1+x 1-x ＜1

，分別解出即可；

解答：解：（1）f（x）為奇函數．
證明如下：
由

1+x

1-x

＞0得函數的定義域為（-1，1），
又f（-x）=loga

1-x

1+x

=loga(

1+x

1-x

)-1=-loga

1+x

1-x

=-f（x），
所以，f（x）為奇函數．
（2）由題意：當0＜a＜1時，有

-1＜x＜1 1+x 1-x ＞1

解得0＜x＜1；
當a＞1時，有

-1＜x＜1 1+x 1-x ＜1

解得-1＜x＜0；
綜上，當0＜a＜1時，0＜x＜1；  當a＞1時，-1＜x＜0．

點評：本題考查函數奇偶性的判斷及對數不等式的求解，考查分類討論思想．