Question

已知函數f（x）=cos²x-2sinxcosx-sin²x．
（1）在給定的坐標系（如圖）中，作出函數f（x）在區間[o，π]上的圖象；
（2）求函數f（x）在區間[-

π

2

，0]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）化簡函數的解析式為 f（x）=cos2x-sin2x=

2

cos（2x+

π

4

），用五點法做出圖象．
（2）根據x的范圍，可得2x+

π

4

的范圍，根據余弦函數的單調性求得當2x+

π

4

=-

3π

4

 時，f（x）取最小值-1，
當2x+

π

4

=0時f（x）取最大值

2

．

解答：解：（1）f（x）=cos2x-sin2x=

2

cos（2x+

π

4

），
因為x∈[0，π]，所以2x+

π

4

∈[

π

4

，

9π

4

]

2x+ π 4	π 4	π 2	π	3π 2	2π	9π 4
x	0	π 8	3π 8	5π 8	7π 8	π
f（x）	1	0	- 2	0	2	1

（2）因為x∈[-

π

2

，0]，所以2x+

π

4

∈[-

3π

4

，

π

4

]，當2x+

π

4

=-

3π

4

 時f（x）取最小值-1，當2x+

π

4

=0時f（x）取
最大值

2

．

點評：本題考查三角函數的恒等變換，用五點法作余弦函數的圖象，余弦函數的定義域和值域，作圖是解題的難點．