Question

已知函數f（x）在R上是增函數，a，b∈R．
（1）求證：如果a+b≥0，那么f（a）+f（b）≥f（-a）+f（-b）；
（2）判斷（1）中的命題的逆命題是否成立？并證明你的結論；解不等式f(lg

1-x

1+x

)+f(2)≥f(lg

1+x

1-x

)+f(-2)．

Answer 1

分析：（1）a+b≥0?a≥-b?b≥-a，由函數的單調性即可比較對因函數值的大小，從而證明出結論．
（2）寫出逆命題，同（1）可證明其逆否命題為真命題．然后利用（2）中的結論寫出要求解的不等式的等價不等式，直接解出即可．

解答：解：（1）證明：當a+b≥0時，a≥-b且b≥-a，∴f（a）≥f（-b），f（b）≥f（-a），
∴f（a）+f（b）≥f（-a）+f（-b）．
（2）中命題的逆命題為：如果f（a）+f（b）≥f（-a）+f（-b），則a+b≥0 ①
 ①的逆否命題是：a+b＜0?f（a）+f（b）＜f（-a）+f（-b） ②
仿（1）的證明可證 ②成立，又①與 ②互為逆否命題，故 ①成立，
即（1）中命題的逆命題成立．
根據（2），所解不等式等價于lg

1-x

1+x

+2≥0，解得-1＜x≤

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點評：本題考查函數單調性的應用、命題之間的關系，考查利用所學知識解決問題的能力．