Question

已知集合A={(x,y)|x,y,2n-x-y}是三角形的三邊之長,n∈N^*}設a_n表示集合A中整點（橫、縱坐標均為整數）的個數.

(1)寫出a_n的通項公式；

(2)求使得a_n＞2 006成立的n的最小值；

(3)設列數{b_n}滿足:b_n=n²-2a_n,n∈N^*,其前n項和為S_n.若對任意正整數n，不等式≤m恒成立，求m的取值范圍.

Answer 1

解:（1）即集合A所表示的區域為下圖.

?

∴a_n=0+1+2+…+n-2=.                                                                        ?

（2）∵a_n＞2 006,∴(n-2)(n-1)＞2 006×2,?

即n(n-3)＞2 005×2.?

令T=x(x-3),當x＞3時，該函數是增函數.經檢驗x=65時，T=4 030＞4 010,?

x=64時，T=3 904＜4 010.?

∴n≥65.∴n的最小值為65.                                                                               ?

（3）b_n=n²-2a_n=3n-2,?

b_n+1-b_n=3.∴數列{b_n}是以1為首項，公差為3的等差數列.?

∴S_n=n=.                                                                                   ?

==C_n.?

則C_n+1-C_n=-,?

當n≤2時,C_n+1＞C_n,即C₁＜C₂;?

n≥3時,C_n+1＜C_n,即C₃＞C₄＞C₅;                                                                               ?

n=2時,=,?

n=3時,=3，∴M≥3.