Question

已知點，橢圓的右準線l₁+x=2與x軸相交于點D，右焦點F到上頂點的距離為．
（1）求橢圓的方程；
（2）是否存在過點F且與x軸不垂直的直線l與橢圓交于A、B兩點，使得？若存在，求出直線l；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意可得，a²=b²+c²，從而可求
（2）由（1）得F（1，0），0≤m≤1，假設存在滿足條件的直線l：y=k（x-1），代入橢圓方程整理可得（2k²+1）x²-4k²x+2k²-2=0設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）則，，由可求k的值
解答：解（1）：由題意可得，a²=b²+c²
解可得，a²=2，b²=1
所以橢圓方程
（2）由（1）得F（1，0），0≤m≤1，
假設存在滿足條件的直線l：y=k（x-1），代入橢圓方程整理可得（2k²+1）x²-4k²x+2k²-2=0
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）則
∴
∴==，的方向向量（1，k）
∴
∴，
所以存在直線l，且直線的方程為
點評：本題主要考查了由橢圓的性質求解橢圓的方程，直線與橢圓相交的位置關系的應用，這是直線與圓錐曲線中的常考的試題類型．