Question

設(shè)f（k）是滿足不等式log₂x+log₂≥2k（k∈N^*）的自然數(shù)x的個(gè)數(shù)．
（1）求f（k）的函數(shù)解析式；
（2）S_n=f（1）+f（2）+…+f（n），求S_n；
（3）設(shè)P_n=2ⁿ⁺¹+n-3，由（2）中S_n及P_n構(gòu)成函數(shù)T_n，，求T_n的最小值與最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）、由log₂x+log₂（5•2^k-1-x）≥2k可知 ，解這個(gè)不等式組得到x的取值范圍后，就能求出f（k）的解析式；
（2）、由S_n=f（1）+f（2）+…+f（n）=3（1+2+2²+…+2^n-1）+n，利用等比數(shù)列求和公式，即可求得結(jié)果；
（3）將S_n及P_n代入函數(shù)T_n中，利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)對(duì)T_n化簡(jiǎn)得到，利用分子常數(shù)化，和反比例函數(shù)的單調(diào)性，即可求得T_n的最小值與最大值．
解答：解：解：（1）∵log₂x+log₂（5•2^k-1-x）≥2k，∴l(xiāng)og₂（5•2^k-1x-x²）≥2k=log₂2^2k，
∴，
解得得2^k-1≤x≤4•2^k-1．
∴f（k）=4•2^k-1-2^k-1+1=3•2^k-1+1（k∈N^*）
（2）s_n=f（1）+f（2）+…+f（n）=3（2+2¹+2²+…+2^n-1）+n
=；
（3）
=
=，
則n=9時(shí)有最小值T₉=-18；n=10時(shí)有最大值T₁₀=20．
點(diǎn)評(píng)：本題考查對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)以及利用對(duì)數(shù)的單調(diào)性求解對(duì)數(shù)不等式，注意對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域，和等比數(shù)列的求和公式，利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解對(duì)數(shù)不等式，求出函數(shù)的解析式是解題的關(guān)鍵，同時(shí)考查靈活應(yīng)用知識(shí)分析解決問題的能力和運(yùn)算能力，屬中檔題．