Question

函數(shù)f（x）滿足：（i）?x∈R，f（x+2）=f（x），（ii）x∈[-1，1]，f（x）=-x²+1．給出如下四個(gè)結(jié)論：
①函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，2]單調(diào)遞減；
②函數(shù)f（x）在點(diǎn)（

1

2

，

3

4

）處的切線方程為4x+4y-5=0；
③若數(shù)列{a_n}滿足a_n=f（2n），則其前n項(xiàng)和S_n=n；
④若[f（x）]²-2f（x）+a=0有實(shí)根，則a的取值范圍是0≤a≤1．
其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（　　）

A．l

B．2

C．3

D．4

Answer 1

分析：利用函數(shù)的周期性與單調(diào)性判斷①的正誤；利用函數(shù)的切線方程判斷②的正誤；求出數(shù)列的前n項(xiàng)和判斷③的正誤；通過函數(shù)的值域判斷④的正誤；

解答：解：因?yàn)楹瘮?shù)f（x）滿足：（i）?x∈R，f（x+2）=f（x），（ ii）x∈[-1，1]，f（x）=-x²+1．
對(duì)于①，由題意可知函數(shù)在[-1，0]上是增函數(shù)，函數(shù)的周期為2，所以函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，2]單調(diào)遞減，是不正確的；
對(duì)于②，函數(shù)x∈[-1，1]，f（x）=-x²+1，所以f′（x）=-2x，在點(diǎn)（

1

2

，

3

4

）處的切線的斜率為：-1，
切線方程為：y-

3

4

=-（x-

1

2

）即切線方程為4x+4y-5=0，正確；
對(duì)于③，若數(shù)列{a_n}滿足a_n=f（2n）=1，數(shù)列是常數(shù)數(shù)列，則其前n項(xiàng)和S_n=n，正確；
對(duì)于④，函數(shù)f（x）∈[0，1]，若[f（x）]²-2f（x）+a=0有實(shí)根，所以

△≥0 02-2×0+a≥0 12-2×1+a≤0

，可得0≤a≤1，則a的取值范圍是0≤a≤1．正確．
故選C．

點(diǎn)評(píng)：本題考查命題的真假，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用切線方程的求法，二次函數(shù)根的分布，數(shù)列求和，以及函數(shù)的零點(diǎn)，考查知識(shí)面廣，解答需要仔細(xì)認(rèn)真．