Question

已知an=

1

n(n+1)

，數列{a_n}的前n項的和記為S_n．
（1）求S₁，S₂，S₃的值，猜想S_n的表達式；
（2）請用數學歸納法證明你的猜想．

Answer 1

分析：（1）依題意，可求得S₁，S₂，S₃的值，繼而可猜想S_n的表達式；
（2）猜想S_n=

n

n+1

；用數學歸納法證明，先證明n=1時等式成立，再假設n=k時等式成立，去證明當n=k+1時等式也成立即可．

解答：解：（1）∵a_n=

1

n(n+1)

，
∴S₁=a₁=

1

1×2

=

1

2

，
S₂=a₁+a₂=

1

2

+

1

2×3

=

2

3

，
S₃=S₂+a₃=

2

3

+

1

3×4

=

9

12

=

3

4

；
…
∴猜想S_n=

n

n+1

；
（2）證明：①當n=1時，S₁=

1

2

，等式成立；
②假設當n=k時，S_k=

k

k+1

成立，
則當n=k+1時，S_k+1=S_k+a_k+1=

k

k+1

+

1

(k+1)(k+2)

=

k(k+2)+1

(k+1)(k+2)

=

(k+1)2

(k+1)(k+2)

=

k+1

k+2

=

k+1

(k+1)+1

，
即當n=k+1時等式也成立；
綜合①②知，對任意n∈N^*，S_n=

n

n+1

．

點評：本題考查歸納推理，著重考查數學歸納法，考查推理、證明的能力，屬于中檔題．