Question

設點P是三角形ABC內一點（不包括邊界），且

AP

=m

AB

+

nAC

，m，n∈R，則m²+（n-2）²的取值范圍為（　　）

• A、(1，

  5

  )
• B、（1，5）
• C、(

  1

  2

  ，5)
• D、(

  2

  2

  ，

  5

  )

Answer 1

分析：根據點P是△ABC內一點（不包括邊界），向量加法的平行四邊形法則得m，n的范圍，據兩點距離公式賦予

m2+(n-2)2

幾何意義，用線性規劃求出最值．

解答：解：∵點P在△ABC內部，

AP

=m

AB

+n

AC

，
∴

m＞0 n＞0 m+n＜1

，
∵在直角坐標系mon內，

m2+(n-2)2

表示平面區域

m＞0 n＞0 m+n＜1

內的點（m，n）到點（0，2）的距離．
∴數形結合知（0，2）到（0，1）的距離最小，到（1，0）的距離最大
∴最小距離為1，最大距離為

(0-1)2+(2-0)2

=

5

m²+（n-2）²的取值范圍是 （1，5）；
故選B．

點評：本題考查平面向量的基本定理及其意義、兩點間距離公式的應用、線性規劃即數性結合求最值．