Question

已知橢圓的離心率為以原點O為圓心，橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線相切。

   （I）求橢圓C的方程；

   （II）設P（4，0），A，B是橢圓C上關于x軸對稱的任意兩個不同的點，連結PB交橢圓C于另一點E，證明直線AE與x軸交于定點Q；

 （III）在（II）條件下，過點Q的直線與橢圓C交于M，N兩點，求的取值范圍。

Answer 1

（本小題滿分13分）

       解：（I）由題意知

      

       故橢圓C的方程為……………………………………4分

   （II）由題意知直線PB的斜率存在，設直線PB的方程為

       ①…………6分

       設點

       直線AE的方程為

      

       整理，得  ②

       由①得代入②

       整理，得x=1.

       所以直線AE與x軸相交于定點Q（1，0）.…………………………9分

   （III）當過點Q的直線MN的斜率存在時，設直線MN的方程為，且在橢圓C上.

       由  ①

       易知△>0.

       所以

    則

       因為

       所以………………………………………………11分

       當過點Q的直線MN的斜率不存在時，其方程為x=1.

       解得

       此時

       所以的取值范圍是……………………………………13分